New PDF release: Algebraische Strukturen [Lecture notes]

By Susanne Danz

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Ubung. 8 Definition (a) F¨ur jeden Ring R und jede Teilmenge X ⊆ R heißt (X) := I I R X⊆I das von X erzeugte Ideal von R. Im Fall X = {x1 , . . , xn } f¨ur ein n ∈ N schreibt man auch einfach (X) = (x1 , . . , xn ). Im Fall X = {x} heißt X = (x) das von x erzeugte Hauptideal von R. (b) Ein Integrit¨atsbereich heißt Hauptidealring (HIR), falls alle seine Ideale Hauptideale sind. 9 Proposition Es seien R ein Ring und X, I ⊆ R. Genau dann ist I = (X), wenn folgende Bedingungen erf¨ullt sind: (i) I ist ein Ideal von R mit X ⊆ I, und (ii) ist J ein Ideal von R mit X ⊆ J, so ist auch I ⊆ J.

Beweis. 6 kann w¨ortlich u¨ bernommen werden, wenn man Z durch R und die Betragsfunktion | · | : Z {0} → N0 durch die euklidische Funktion H : R {0} → N0 ersetzt. 6 nicht gebraucht wurde! 10 Proposition Es sei R ein euklidischer Ring mit euklidischer Funktion H. Elemente a, b ∈ R mit a = 0 = b sind genau dann assoziiert, wenn a | b und H(a) = H(b) gilt. Insbesondere ist R× = {u ∈ R {0} | H(u) = H(1)}. 44 Beweis. Sind a, b ∈ R {0} und u ∈ R× mit a = bu, so ist b | a und H(b) H(bu) = H(a). Analog folgt auch a | b und H(a) H(b).

F) Ist n ∈ N, so wissen wir schon, dass nZ ein Normalteiler von Z ist. Wir wissen auch, dass Z/nZ ein Ring ist. Aber: f¨ur n > 1 ist nZ kein Teilring, da nZ dann kein Einselement besitzt. 4 Proposition F¨ur jeden Ring R und jede Untergruppe (I, +) von (R, +) sind a¨ quivalent: (i) Sind r ∈ R und x ∈ I, so sind auch rx ∈ I und xr ∈ I. (ii) Die Faktorgruppe (R/I, +) wird verm¨oge folgender Multiplikation zu einem Ring: · : R/I × R/I → R/I, (r + I, s + I) → rs + I . (iii) Es existieren ein Ring S und ein Ringhomomorphismus ϕ : R → S mit Kern I.

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Algebraische Strukturen [Lecture notes] by Susanne Danz


by Christopher
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